以下是两张图片中的主要知识点提取及详细解释说明：

核心知识点总结

1. 可分离滤波器核的定义

• 基本概念：滤波器核可分离是指一个二维核矩阵可以表示为两个一维向量的外积
• 数学表达： w = vw^{\top}（一般形式） 方形核：w = vv^{\top}（特殊形式）
• 实例验证：
  以2×3核为例： w = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}

2. 可分离性的计算优势

• 计算复杂度对比：
• 核类型计算量（乘加次数）不可分离核MNmn可分离核MN(m+n)
• 计算优势比： C = \frac{mn}{m+n}
• 实例说明：
  11×11核的计算优势 C = \frac{121}{22} \approx 5.5，效率提升5.5倍

3. 可分离性判定方法

• 秩判断法： 核矩阵的秩为1时可分离 MATLAB实现：rank(w) == 1
• 三步分离法： 在核中任选一个非零元素 E 提取包含 E 的行向量 r 和列向量 c 构建分离向量：v = c，w^{\top} = r/E

4. 卷积结合律的应用

• 运算规则： w \star f = (v \star (w^{\top} \star f))
• 计算流程： 先用行向量 w^{\top} 做水平卷积 再用列向量 v 做垂直卷积 等效于原核的二维卷积

5. 圆对称核的特性

• 唯一可分离的圆对称核：高斯核
• 特征： 中心系数 c > 0（非零） 径向值递减（高斯分布）
• 特殊表达： w = \frac{1}{c} vv^{\top} 其中 v 是通过核中心的列向量

知识应用场景

1. 图像处理优化
2. 高斯模糊核分离（如5×5核 → 1×5行核 + 5×1列核）
3. 计算量从25次/像素降至10次/像素（优势比2.5）
4. 计算机视觉
5. Sobel边缘检测核分离： \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ -2 & 0 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}
6. 医学影像处理
7. 大型滤波核（如15×15）处理MRI图像
8. 计算量从225次/像素降至30次/像素（加速7.5倍）

关键注意事项

1. 秩判断限制：
2. 仅适用于完美秩1矩阵
3. 实际应用中需考虑数值精度（如浮点误差）
4. 核对称要求：
5. 圆对称核必须是高斯函数
6. 其他对称核（如均值滤波）不一定可分离
7. 边界处理：
8. 分离卷积时需对中间结果补零
9. 与直接二维卷积结果完全等价

可分离滤波器核的核心价值在于将二维运算降维到一维，这种"分治策略"极大提升了计算效率。正如示例所示，一个11×11核的处理速度可提升100倍，这对实时图像处理和视频分析至关重要。掌握这些原理，就能深入理解现代卷积神经网络（CNN）的优化基础。